Estudos

Morte de Bin Laden é momento crítico para o mundo árabe

Questão é saber se morte de líder da Al-Qaeda estimulará movimentos pró-democracia na região ou alimentará forças extremistas

The New York Times | 03/05/2011 08:03

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Nos primeiros dias da primavera árabe, o presidente americano, Barack Obama, frequentemente afirmou a seus assessores que o movimento que tomou conta da região, do Egito ao Iêmen – do lugar onde a Al-Qaeda encontrou suas raízes intelectuais, aquele em que ele se refugiou – criou o que chamou de uma "narrativa alternativa" para uma geração abandonada.

Foto: Divulgação/Casa Branca

Barack Obama durante em uma das reuniões ocorridas neste domingo em que se discutiu a missão contra Osama bin Laden

Não havia fotos de Osama Bin Laden nos protestos de rua, ele observou. Tampouco houve gritos de "Morte à América". A questão agora é saber se a morte de Bin Laden nas mãos de forças especiais americanas e da agência central de inteligência (CIA) estimula o movimento para promover a democracia na região – uma alternativa muito real – ou alimenta as forças islâmicas que agora tentam preencher o vácuo de poder deixado no novo mundo árabe.

A Casa Branca, não surpreendentemente, defendeu na noite de domingo que a morte de Bin Laden veio justamente no momento crucial, quando o mundo árabe vira as costas à ideologia da Al-Qaeda. "É importante notar que é mais adequado que a morte de Bin Laden chegue em um momento em que há grande movimento em direção à liberdade e à democracia no mundo árabe", afirmou um dos assessores de segurança nacional de Obama após o fim do ataque à fortaleza de Bin Laden. "Ele estava em oposição direta ao que os grandes homens e mulheres de todo o Oriente Médio e Norte da África estão arriscando suas vidas para conseguir: direitos individuais e dignidade humana".

Se a Casa Branca de Obama estiver certa na sua interpretação dos acontecimentos, a morte do líder da Al-Qaeda vai representar muito mais do que simplesmente levar justiça ao mentor dos ataques de 11 de setembro de 2001. Ela irá ressaltar o argumento de que o caminho adotado pela Al-Qaeda para mudar o Oriente Médio – através da violência – nunca destituiu um único ditador e nunca trouxe uma mudança real. Por esse motivo, o apelo da Al-Qaeda já estava sumindo antes mesmo de Bin Laden ter seu fim.

Pode também marcar o início de uma nova era em que a guerra global contra o terrorismo, como a administração Bush dizia, deixa de ser a raison d'etre da política externa dos Estados Unidos, como tem sido desde a tarde de 11 de setembro de 2001.

Durante anos, as relações dos Estados Unidos com o mundo foram medidas quase que inteiramente de acordo com a decisão de Washington sobre os países estarem ajudando ou impedindo sua guerra contra o terrorismo. Como candidato, Obama prometeu mudar isso, mesmo que mantivesse uma estratégia contra o terrorismo – e a caçada a Bin Laden – de maneira implacável.

Abordagem

Mas até agora, as esperanças de Obama de levar os Estados Unidos a uma abordagem radicalmente diferente haviam se mostrado mais uma aspiração do que um plano. Ele tentou mudar a atenção dos Estados Unidos para a Ásia, onde está o futuro econômico do país, e buscou reduzir o papel das armas nucleares ao redor do mundo.

Mas os esforços eram sempre sobrepujados pelas questões restantes das "guerras-legado" do Afeganistão e do Iraque: o envio de outros 30 mil soldados ao Afeganistão para evitar que o país se torne um refúgio da Al-Qaeda novamente, a tentativa fracassada de fechar a prisão de Guantánamo, os problemas nas relações com um Paquistão armado com armas nucleares.

[editar]Sobre a trigonometria

Dois triângulos são ditos semelhantes se um pode ser obtido pela expansão uniforme do outro. Este é o caso se, e somente se, seus ângulos correspondentes são iguais. O fato crucial sobre triângulos semelhantes é que os comprimentos de seus lados são proporcionais. Isto é, se o maior lado de um triângulo é duas vezes o maior que o lado do triângulo similar, então o menor lado será também duas vezes maior que o menor lado do outro triângulo, e o comprimento do lado médio será duas vezes o valor do lado correspondente do outro triângulo. Assim, a razão do maior lado e menor lado do primeiro triângulo será a mesma razão do maior lado e o menor lado do outro triângulo.

Usando estes fatos, definem-se as funções trigonométricas, começando pelos triângulos retângulos (triângulos com um ângulo reto 90 graus ou π/2 radianos). O maior lado em um triângulo qualquer é sempre o lado oposto ao maior ângulo e devido a soma dos ângulos de um triângulo ser 180 graus ou π radianos, o maior ângulo em um triângulo retângulo é o ângulo reto. O maior lado nesse triângulo, consequentemente, é o lado oposto ao ângulo reto, chamado de hipotenusa e os demais lados são chamados de catetos.

Dois triângulos retângulos que compartilham um segundo ângulo

A

são necessariamente similares, e a razão entre o lado oposto a

A

e a hipotenusa será, portanto, a mesma nos dois triângulos. Este valor será um número entre 0 e 1 que depende apenas de

A

. Este número é chamado de seno de A e é escrito como $\operatorname{sen}(A)$ . Similarmente, pode-se definir o cosseno (ou co-seno) de

A

como a razão do cateto adjacente a

A

pela hipotenusa.

[editar]Círculo Trigonométrico

Ver artigo principal: Círculo trigonométrico

Círculo trigonométrico

É uma circunferência orientada de raio unitário, centrada na origem dos eixos de um plano cartesiano ortogonal. Existem dois sentidos de marcação dos arcos no ciclo: o sentido positivo, chamado de anti-horário, que se dá a partir da origem dos arcos até o lado terminal do ângulo correspondente ao arco; e o sentido negativo, ou horário, que se dá no sentido contrário ao anterior.

[editar]Seno

Ver artigo principal: Seno

Seno é a projeção no eixo vertical do segmento de reta que parte do centro do círculo trigonométrico e vai até a circunferência.

O seno de um ângulo agudo é a razão (divisão) entre a medida do cateto oposto e a medida da hipotenusa.

[editar]Cosseno

Ver artigo principal: Cosseno

Cosseno é a projeção no eixo horizontal do segmento de reta que parte do centro do círculo trigonométrico e vai até a circunferência.

Como o cosseno é uma projeção, e esta projeção está no interior do ciclo trigonométrico e este possui raio unitário, segue que, $\forall x\in\mathbb{R},-1\leq\operatorname{cos}(x)\leq1$ , ou seja, a imagem do cosseno é o intervalo fechado

[ - 1,1]

O cosseno de um ângulo agudo é a razão (divisão) entre a medida do cateto adjacente e a medida da hipotenusa.

[editar]Tangente

Ver artigo principal: Tangente

Tangente é o segmento de reta formado entre o ponto de cruzamento de seu eixo com a reta definida pelo centro do círculo trigonométrico e o ângulo com sua origem.

A tangente de um ângulo agudo é a razão (divisão) entre a medida do cateto oposto e a medida do cateto adjacente. A Trigonometria (trigono: triângulo e metria: medidas) é o estudo da Matemática responsável pela relação existente entre os lados e os ângulos de um triângulo. Nos triângulos retângulos (possuem um ângulo de 90º), as relações constituem os chamados ângulos notáveis, 30º, 45º e 60º que possuem valores constantes representados pelas relações seno, cosseno e tangente. Nos triângulos que não possuem ângulo reto, as condições são adaptadas na busca pela relação entre os ângulos e os lados

[editar]Algumas relações

$\mbox{sen} A = {\mbox{cateto oposto} \over \mbox{hipotenusa}} \qquad \cos A = {\mbox{cateto adjacente} \over \mbox{hipotenusa}}$

Estas são as mais importantes funções trigonométricas; outras funções podem ser definidas tomando as razões dos outros lados de um triângulo retângulo, mas podem ser expressas em termos de seno e cosseno. São elas a tangente, secante, cotangente, e cossecante.

$\tan A = {\mbox{sen} A \over \cos A} = {\mbox{cateto oposto} \over \mbox{cateto adjacente}} \qquad \sec A = {1 \over \cos A} = {\mbox{hipotenusa} \over \mbox{cateto adjacente}}$

$\cot A = {\cos A \over \mbox{sen} A} = {\mbox{cateto adjacente} \over \mbox{cateto oposto}} \qquad \csc A = {1 \over \mbox{sen} A} = {\mbox{hipotenusa} \over \mbox{cateto oposto}}$

O círculo unitário

Até então, as funções trigonométricas tem sido definidas por ângulos entre 0 e 90 graus (0 e π/2 radianos) apenas. Usando um círculo unitário, pode-se estendê-los para todos argumentos positivos e negativos (veja função trigonométrica).

Relógio de sol

Uma vez que as funções seno e cosseno tenham sido tabuladas (ou computadas por uma calculadora), pode-se responder virtualmente todas questões sobre triângulos arbitrários, usando a lei dos senos e a lei dos cossenos. Estas leis podem ser usadas para calcular os ângulos restantes e lados de qualquer triângulo bem como dois lados e um ângulo ou dois ângulos e um lado ou três lados conhecidos.

Alguns matemáticos acreditam que a trigonometria foi originalmente inventada para calcular relógios de sol, um tradicional exercício em antigos livros. Isto é também muito importante para a agrimensura.

[editar]Teorema de Pitágoras

Ver artigo principal: Teorema de Pitágoras

O teorema de Pitágoras estabelece que "A soma do quadrado das medidas dos catetos (lados que formam o ângulo de 90°, neste caso a eb) é igual ao quadrado da medida da hipotenusa (lado oposto ao ângulo de 90°, ou c)". Assim: c ² = a ² + b ². Um corolário desse teorema é que se os dois catetos forem de mesmo tamanho, a hipotenusa vale o produto do cateto pela raiz quadrada de 2.

[editar]Aplicações da trigonometria

Existem diversas aplicações da trigonometria e das funções trigonométricas. Por exemplo, a técnica da triangulação é usada em astronomiapara estimar a distância das estrelas próximas; em geografia para estimar distâncias entre divisas e em sistemas de navegação por satélite. As funções seno e cosseno são fundamentais para a teoria das funções periódicas, as quais descrevem as ondas sonoras e luminosas.

Campos que fazem uso da trigonometria ou funções trigonométricas incluem astronomia (especialmente para localização de posições aparentes de objetos celestes, em qual a trigonometria esférica é essencial) e portanto navegação (nos oceanos, em aviões, e no espaço), teoria musical, acústica, óptica, análise de mercado, eletrônica, teoria da probabilidade, estatística, biologia, equipamentos médicos (por exemplo, Tomografia Computadorizada e Ultrassom), farmácia, química, teoria dos números (e portanto criptologia), sismologia,meteorologia, oceanografia, muitas das ciências físicas, solos (inspeção e geodesia), arquitetura, fonética, economia, engenharia, gráficos computadorizados, cartografia, cristalografia e desenvolvimento de jogos.

[editar]Fórmulas comuns

Algumas equações envolvendo funções trigonométricas são verdade para todos os ângulos e são conhecidas como "identidades trigonométricas". Muitas expressam relações geométricas importantes. Por exemplo, as identidades Pitagoreanas são uma expressão do Teorema de Pitágoras. Aqui há algumas das identidades mais comumente utilizadas, assim como as fórmulas mais importantes conectando ângulos e lados de um triângulo arbitrário.

[editar]Identidades Trigonométricas

[editar]Fórmula fundamental da trigonometria e seus corolários

$\begin{align} \operatorname{sen}^2 A + \cos^2 A &= 1 \\ \tan^2 A + 1 &= \sec^2 A \\ 1+\cot^2 A &= \csc^2 A \end{align}$

[editar]Identidades de soma e subtração

$\begin{align} \mbox{sen}(A \pm B) &= \mbox{sen} A \cos B \pm \mbox{sen} B \cos A \\ \cos(A \pm B) &= \cos A \cos B \mp \mbox{sen} A \mbox{sen} B \\ \tan(A \pm B) &= \frac{\tan A \pm \tan B}{1 \mp \tan A \tan B} \\ \cot(A \pm B) &= \frac{\cot A \cot B \mp 1}{\cot B \pm \cot A} \end{align}$

[editar]Fórmulas da duplicação do ângulo

$\begin{align} \operatorname{sen}(2A)&= 2 \operatorname{sen} A \cos A \\ \cos(2A)&= \cos^2 A - \operatorname{sen}^2 A \\ &= 2 \cos^2 A -1 \\ &= 1-2 \operatorname{sen}^2 A \\ &= {1 - \tan^2 A \over 1 + \tan^2 A}\\ \tan(2A)&= \frac{2 \tan A}{1 - \tan^2 A}\\ &= \frac{2 \cot A}{\cot^2 A - 1}\\ &= \frac{2}{\cot A - \tan A} \end{align}$

[editar]Fórmulas da divisão do ângulo em dois

Note que $\pm$ significa que pode haver qualquer dos dois sinais, dependendo do valor de

A / 2

$\begin{align} \operatorname{sen} \frac{A}{2} &= \pm {\sqrt\frac{1-\cos A}{2}} \\ \cos \frac{A}{2} &= \pm {\sqrt\frac{1+\cos A}{2}} \\\tan \frac{A}{2} &= \pm \sqrt{\frac{1-\cos A}{1+\cos A}} \end{align}$

[editar]Identidades triangulares

As identidades que se seguem referem-se a um triângulo com ângulos

A

B

C

e lados de comprimentos

a

b

c

, como na figura ao lado. Repare que o lado oposto ao ângulo

A

é o de comprimento

a

, o lado oposto ao ângulo

B

é o de comprimento

b

e o lado oposto ao ângulo

C

é o de comprimento

c

[editar]Lei dos senos

Ver artigo principal: Lei dos senos

A lei dos senos para um triângulo arbitrário diz:

$\frac{\operatorname{sen} A}{a} = \frac{\operatorname{sen} B}{b} = \frac{\operatorname{sen} C}{c},$

ou equivalentemente:

$\frac{a}{\operatorname{sen} A} = \frac{b}{\operatorname{sen} B} = \frac{c}{\operatorname{sen} C} = 2R$

[editar]Lei dos cossenos

Ver artigo principal: Lei dos cossenos

A lei dos cossenos (também conhecida como fórmula dos cossenos) é uma extensão do teorema de Pitágoras para triângulos arbitrários:

$c^2=a^2+b^2-2ab\cos C ,\,$

ou equivalentemente:

$\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\,$

o teorema de pitágoras é um caso particular da Lei dos Cossenos, quando o cosseno de 90°é 0.

[editar]Lei das tangentes

Ver artigo principal: Lei das tangentes

A lei das tangentes:

$\frac{a+b}{a-b}=\frac{\tan\left[\tfrac{1}{2}(A+B)\right]}{\tan\left[\tfrac{1}{2}(A-B)\right]}$

$\frac{b+c}{b-c}=\frac{\tan\left[\tfrac{1}{2}(B+C)\right]}{\tan\left[\tfrac{1}{2}(B-C)\right]}$

$\frac{a+c}{a-c}=\frac{\tan\left[\tfrac{1}{2}(A+C)\right]}{\tan\left[\tfrac{1}{2}(A-C)\right]}$

'Como saber o ângulo interno de um triângulo rectângulo?'

Sendo

$tan(A)=\frac{sen(A)}{cos(A)}$ , em que:

Sen(A) é comprimento do cateto oposto e Cos(A) A o comprimento do cateto adjacente.

A tangente inversa (

t a n - 1 (A)

ou $\textrm{arctan}\left(\frac{sen(A)}{\cos(A)}\right)$ )é o ângulo interno. sendo assim.

Triângulo retângulo, em geometria, é um triângulo que possui um ângulo reto e outros dois ângulos agudos, para tanto basta que tenha um ângulo reto (90°), pois a soma dos três ângulos internos é igual a um ângulo raso (180°). É uma figura geométrica muito usada na matemática, no cálculo de áreas, volumes e no cálculo algébrico. Em um triângulo retângulo, sabendo-se as medidas de dois lados ou a medida de um lado mais a medida de um ângulo agudo, é possível calcular a medida dos demais lados e ângulos. A área de um triângulo retângulo é dada pela metade do produto dos menores lados.

Se pode considerar um triângulo retângulo como a metade de um retângulo desde que partido pela sua diagonal.

A relação entre os lados e ângulos de um triângulo retângulo é a base da trigonometria.

Índice

[esconder]

[editar]Elementos do triângulo retângulo

Elementos de um triângulo retângulo. Os pontos A, B e C, os lados opostos a(hipotenusa), b e c (catetos) e as projeções de b e c, m e n.

Um triângulo retângulo é composto por quatro principais elementos:

Catetos
Hipotenusa
altura relativa à hipotenusa
projeções dos catetos.

[editar]Catetos

Os catetos são os menores lados do triângulo retângulo. Eles formam o ângulo de 90°.

[editar]Altura relativa à hipotenusa

[editar]Projeções dos catetos

A altura relativa à hipotenusa divide-a em duas partes, denominadas projeções dos catetos.

[editar]Relações métricas do triângulo retângulo

As relações métricas do triângulo retângulo são quatro. Os três triângulos formados são retângulos e semelhantes.

A hipotenusa é igual à soma das projeções.

$a=m+n \,\!$

Por semelhança de triângulos, temos que:

O quadrado da altura relativa à hipotenusa é igual ao produto das projeções dos catetos.

$\frac{h}{m}=\frac{n}{h} \Rightarrow h^2=mn \,\!$

O quadrado de um cateto é igual ao produto entre a sua projeção(que se encontra do seu lado) e a hipotenusa.

$\frac{b}{a}=\frac{m}{b} \Rightarrow b^2 = am \,\$

$\frac{c}{a}=\frac{n}{c} \Rightarrow c^2 = an \,\$

O produto entre a hipotenusa e a altura relativa a ela é igual ao produto dos catetos.

$\frac{a}{c}=\frac{b}{h} \Rightarrow ah=bc \,\$

[editar]Teorema de Pitágoras

O Teorema de Pitágoras diz que:

A soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa.

— Pitágoras

ou, em linguagem matemática:

hipotenusa (AB)² = cateto (BC)² + cateto (CA)²

[editar]Relações trigonométricas do triângulo retângulo

Outra maneira de calcular a medida dos lados de um triângulo retângulo é através da medida de um ângulo e um lado, usando aTrigonometria. As principais relações trigonométricas são: Seno, Cosseno e Tangente. Há outras três: Cotangente, Secante e Cossecante.

[editar]Seno de um ângulo

É dado pela razão entre os lados que formam o outro ângulo agudo, dado pela ordem :

$\mbox{sen } A = {\mbox{cateto oposto} \over \mbox{hipotenusa}}$

[editar]Cosseno de um ângulo

Cosseno: É a razão entre a medida do cateto adjacente e a medida da hipotenusa e é dado pela razão entre os lados que formam o próprio ângulo agudo, dado pela ordem::

$\cos A = {\mbox{cateto adjacente} \over \mbox{hipotenusa}}$

[editar]Tangente de um ângulo

É dado pela razão entre o Seno e o Cosseno de um ângulo, ou entre os catetos, dado pela seguinte ordem:

$\mbox{tg } A = {\mbox{sen } A \over \cos A} = {\mbox{cateto oposto} \over \mbox{cateto adjacente}}$

[editar]Cotangente de um ângulo

É dado pela razão entre o Cosseno e o Seno de um ângulo, ou entre os catetos, dado pela seguinte ordem:

$\mbox{cotg } A = {\cos A \over \mbox{sen } A} = {\mbox{cateto adjacente} \over \mbox{cateto oposto}}$

[editar]Secante de um ângulo

É dado pelo inverso do cosseno desse ângulo ou entre os lados que formam o próprio ângulo, dado na seguinte ordem:

$\sec A = {1 \over \cos A} = {\mbox{hipotenusa} \over \mbox{cateto adjacente}}$

[editar]Cossecante de um ângulo

É dado pelo inverso do seno desse ângulo ou entre os lados que formam o outro ângulo agudo, dado na seguinte ordem:

$\mbox{cossec } A = {1 \over \mbox{sen } A} = {\mbox{hipotenusa} \over \mbox{cateto oposto}}$

[editar]Ângulos notáveis

[editar]Triângulos retângulos exatos

São aqueles que todos os lados são diferentes dos que formam um terno pitagórico. hipotenusa, cateto, cateto.

[editar]Circunferência inscrita num triângulo retângulo

O diâmetro (d) de uma circunferência inscrita num triângulo rectângulo (a b c) é igual à soma dos catetos, menos a hipotenusa, representado pela seguinte fórmula:

a + b = c + d

$a =$ cateto
$b =$ cateto
$c =$ hipotenusa
$r =$ raio da circunferência inscrita
$d =$ diâmetro da circunferência inscrita

$\left\{ \begin{matrix} a=x+r \Rightarrow x=a-r \, \left ( I \right )\\ b=y+r \Rightarrow y=b-r \, \left (II \right )\\ c=x+y \, \left (III \right ) \end{matrix} \right.$

Substituindo I e II em III, teremos

$c=a-r+b-r \Rightarrow c=a+b-2r \Rightarrow c+2r=a+b$

Como:

$d=2r \Rightarrow c+d=a+b$ cqd

quinta-feira, 2 de junho de 2011

Oi!!

quinta-feira, 5 de maio de 2011

Morte de Osama Bin Laden

Morte de Bin Laden é momento crítico para o mundo árabe

Questão é saber se morte de líder da Al-Qaeda estimulará movimentos pró-democracia na região ou alimentará forças extremistas

Leia também

sexta-feira, 15 de abril de 2011

Trigonometria

Índice

[editar]Sobre a trigonometria

[editar]Círculo Trigonométrico

[editar]Seno

[editar]Cosseno

[editar]Tangente

[editar]Algumas relações

[editar]Teorema de Pitágoras

[editar]Aplicações da trigonometria

[editar]Fórmulas comuns

[editar]Identidades Trigonométricas

[editar]Fórmula fundamental da trigonometria e seus corolários

[editar]Identidades de soma e subtração

[editar]Fórmulas da duplicação do ângulo

[editar]Fórmulas da divisão do ângulo em dois

[editar]Identidades triangulares

[editar]Lei dos senos

[editar]Lei dos cossenos

[editar]Lei das tangentes

Índice

[editar]Elementos do triângulo retângulo

[editar]Catetos

[editar]Altura relativa à hipotenusa

[editar]Projeções dos catetos

[editar]Relações métricas do triângulo retângulo

[editar]Teorema de Pitágoras

[editar]Relações trigonométricas do triângulo retângulo

[editar]Seno de um ângulo

[editar]Cosseno de um ângulo

[editar]Tangente de um ângulo

[editar]Cotangente de um ângulo

[editar]Secante de um ângulo

[editar]Cossecante de um ângulo

[editar]Ângulos notáveis

[editar]Triângulos retângulos exatos

[editar]Circunferência inscrita num triângulo retângulo

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