Estudos: Trigonometria

Trigonometria (do grego trigōnon "triângulo" + metron "medida") é um ramo da matemática que estuda os triângulos, particularmente triângulos em um plano onde um dos ângulos do triângulo mede 90 graus (triângulo retângulo). Também estuda especificamente as relações entre os lados e os ângulos dos triângulos; as funções trigonométricas, e os cálculos baseados nelas. A abordagem da trigonometria penetra outros campos da geometria, como o estudo de esferas usando a trigonometria esférica.

A trigonometria tem aplicações importantes em vários ramos, tanto como na matemática pura, quanto na matemática aplicada e, consequentemente, nas ciências naturais. A trigonometria é comumente ensinada no Ensino Médio.

[editar]Sobre a trigonometria

Dois triângulos são ditos semelhantes se um pode ser obtido pela expansão uniforme do outro. Este é o caso se, e somente se, seus ângulos correspondentes são iguais. O fato crucial sobre triângulos semelhantes é que os comprimentos de seus lados são proporcionais. Isto é, se o maior lado de um triângulo é duas vezes o maior que o lado do triângulo similar, então o menor lado será também duas vezes maior que o menor lado do outro triângulo, e o comprimento do lado médio será duas vezes o valor do lado correspondente do outro triângulo. Assim, a razão do maior lado e menor lado do primeiro triângulo será a mesma razão do maior lado e o menor lado do outro triângulo.

Usando estes fatos, definem-se as funções trigonométricas, começando pelos triângulos retângulos (triângulos com um ângulo reto 90 graus ou π/2 radianos). O maior lado em um triângulo qualquer é sempre o lado oposto ao maior ângulo e devido a soma dos ângulos de um triângulo ser 180 graus ou π radianos, o maior ângulo em um triângulo retângulo é o ângulo reto. O maior lado nesse triângulo, consequentemente, é o lado oposto ao ângulo reto, chamado de hipotenusa e os demais lados são chamados de catetos.

Dois triângulos retângulos que compartilham um segundo ângulo

A

são necessariamente similares, e a razão entre o lado oposto a

A

e a hipotenusa será, portanto, a mesma nos dois triângulos. Este valor será um número entre 0 e 1 que depende apenas de

A

. Este número é chamado de seno de A e é escrito como $\operatorname{sen}(A)$ . Similarmente, pode-se definir o cosseno (ou co-seno) de

A

como a razão do cateto adjacente a

A

pela hipotenusa.

[editar]Círculo Trigonométrico

Ver artigo principal: Círculo trigonométrico

Círculo trigonométrico

É uma circunferência orientada de raio unitário, centrada na origem dos eixos de um plano cartesiano ortogonal. Existem dois sentidos de marcação dos arcos no ciclo: o sentido positivo, chamado de anti-horário, que se dá a partir da origem dos arcos até o lado terminal do ângulo correspondente ao arco; e o sentido negativo, ou horário, que se dá no sentido contrário ao anterior.

[editar]Seno

Ver artigo principal: Seno

Seno é a projeção no eixo vertical do segmento de reta que parte do centro do círculo trigonométrico e vai até a circunferência.

O seno de um ângulo agudo é a razão (divisão) entre a medida do cateto oposto e a medida da hipotenusa.

[editar]Cosseno

Ver artigo principal: Cosseno

Cosseno é a projeção no eixo horizontal do segmento de reta que parte do centro do círculo trigonométrico e vai até a circunferência.

Como o cosseno é uma projeção, e esta projeção está no interior do ciclo trigonométrico e este possui raio unitário, segue que, $\forall x\in\mathbb{R},-1\leq\operatorname{cos}(x)\leq1$ , ou seja, a imagem do cosseno é o intervalo fechado

[ - 1,1]

O cosseno de um ângulo agudo é a razão (divisão) entre a medida do cateto adjacente e a medida da hipotenusa.

[editar]Tangente

Ver artigo principal: Tangente

Tangente é o segmento de reta formado entre o ponto de cruzamento de seu eixo com a reta definida pelo centro do círculo trigonométrico e o ângulo com sua origem.

A tangente de um ângulo agudo é a razão (divisão) entre a medida do cateto oposto e a medida do cateto adjacente. A Trigonometria (trigono: triângulo e metria: medidas) é o estudo da Matemática responsável pela relação existente entre os lados e os ângulos de um triângulo. Nos triângulos retângulos (possuem um ângulo de 90º), as relações constituem os chamados ângulos notáveis, 30º, 45º e 60º que possuem valores constantes representados pelas relações seno, cosseno e tangente. Nos triângulos que não possuem ângulo reto, as condições são adaptadas na busca pela relação entre os ângulos e os lados

[editar]Algumas relações

$\mbox{sen} A = {\mbox{cateto oposto} \over \mbox{hipotenusa}} \qquad \cos A = {\mbox{cateto adjacente} \over \mbox{hipotenusa}}$

Estas são as mais importantes funções trigonométricas; outras funções podem ser definidas tomando as razões dos outros lados de um triângulo retângulo, mas podem ser expressas em termos de seno e cosseno. São elas a tangente, secante, cotangente, e cossecante.

$\tan A = {\mbox{sen} A \over \cos A} = {\mbox{cateto oposto} \over \mbox{cateto adjacente}} \qquad \sec A = {1 \over \cos A} = {\mbox{hipotenusa} \over \mbox{cateto adjacente}}$

$\cot A = {\cos A \over \mbox{sen} A} = {\mbox{cateto adjacente} \over \mbox{cateto oposto}} \qquad \csc A = {1 \over \mbox{sen} A} = {\mbox{hipotenusa} \over \mbox{cateto oposto}}$

O círculo unitário

Até então, as funções trigonométricas tem sido definidas por ângulos entre 0 e 90 graus (0 e π/2 radianos) apenas. Usando um círculo unitário, pode-se estendê-los para todos argumentos positivos e negativos (veja função trigonométrica).

Relógio de sol

Uma vez que as funções seno e cosseno tenham sido tabuladas (ou computadas por uma calculadora), pode-se responder virtualmente todas questões sobre triângulos arbitrários, usando a lei dos senos e a lei dos cossenos. Estas leis podem ser usadas para calcular os ângulos restantes e lados de qualquer triângulo bem como dois lados e um ângulo ou dois ângulos e um lado ou três lados conhecidos.

Alguns matemáticos acreditam que a trigonometria foi originalmente inventada para calcular relógios de sol, um tradicional exercício em antigos livros. Isto é também muito importante para a agrimensura.

[editar]Teorema de Pitágoras

Ver artigo principal: Teorema de Pitágoras

O teorema de Pitágoras estabelece que "A soma do quadrado das medidas dos catetos (lados que formam o ângulo de 90°, neste caso a eb) é igual ao quadrado da medida da hipotenusa (lado oposto ao ângulo de 90°, ou c)". Assim: c ² = a ² + b ². Um corolário desse teorema é que se os dois catetos forem de mesmo tamanho, a hipotenusa vale o produto do cateto pela raiz quadrada de 2.

[editar]Aplicações da trigonometria

Existem diversas aplicações da trigonometria e das funções trigonométricas. Por exemplo, a técnica da triangulação é usada em astronomiapara estimar a distância das estrelas próximas; em geografia para estimar distâncias entre divisas e em sistemas de navegação por satélite. As funções seno e cosseno são fundamentais para a teoria das funções periódicas, as quais descrevem as ondas sonoras e luminosas.

Campos que fazem uso da trigonometria ou funções trigonométricas incluem astronomia (especialmente para localização de posições aparentes de objetos celestes, em qual a trigonometria esférica é essencial) e portanto navegação (nos oceanos, em aviões, e no espaço), teoria musical, acústica, óptica, análise de mercado, eletrônica, teoria da probabilidade, estatística, biologia, equipamentos médicos (por exemplo, Tomografia Computadorizada e Ultrassom), farmácia, química, teoria dos números (e portanto criptologia), sismologia,meteorologia, oceanografia, muitas das ciências físicas, solos (inspeção e geodesia), arquitetura, fonética, economia, engenharia, gráficos computadorizados, cartografia, cristalografia e desenvolvimento de jogos.

[editar]Fórmulas comuns

Algumas equações envolvendo funções trigonométricas são verdade para todos os ângulos e são conhecidas como "identidades trigonométricas". Muitas expressam relações geométricas importantes. Por exemplo, as identidades Pitagoreanas são uma expressão do Teorema de Pitágoras. Aqui há algumas das identidades mais comumente utilizadas, assim como as fórmulas mais importantes conectando ângulos e lados de um triângulo arbitrário.

[editar]Identidades Trigonométricas

[editar]Fórmula fundamental da trigonometria e seus corolários

$\begin{align} \operatorname{sen}^2 A + \cos^2 A &= 1 \\ \tan^2 A + 1 &= \sec^2 A \\ 1+\cot^2 A &= \csc^2 A \end{align}$

[editar]Identidades de soma e subtração

$\begin{align} \mbox{sen}(A \pm B) &= \mbox{sen} A \cos B \pm \mbox{sen} B \cos A \\ \cos(A \pm B) &= \cos A \cos B \mp \mbox{sen} A \mbox{sen} B \\ \tan(A \pm B) &= \frac{\tan A \pm \tan B}{1 \mp \tan A \tan B} \\ \cot(A \pm B) &= \frac{\cot A \cot B \mp 1}{\cot B \pm \cot A} \end{align}$

[editar]Fórmulas da duplicação do ângulo

$\begin{align} \operatorname{sen}(2A)&= 2 \operatorname{sen} A \cos A \\ \cos(2A)&= \cos^2 A - \operatorname{sen}^2 A \\ &= 2 \cos^2 A -1 \\ &= 1-2 \operatorname{sen}^2 A \\ &= {1 - \tan^2 A \over 1 + \tan^2 A}\\ \tan(2A)&= \frac{2 \tan A}{1 - \tan^2 A}\\ &= \frac{2 \cot A}{\cot^2 A - 1}\\ &= \frac{2}{\cot A - \tan A} \end{align}$

[editar]Fórmulas da divisão do ângulo em dois

Note que $\pm$ significa que pode haver qualquer dos dois sinais, dependendo do valor de

A / 2

$\begin{align} \operatorname{sen} \frac{A}{2} &= \pm {\sqrt\frac{1-\cos A}{2}} \\ \cos \frac{A}{2} &= \pm {\sqrt\frac{1+\cos A}{2}} \\\tan \frac{A}{2} &= \pm \sqrt{\frac{1-\cos A}{1+\cos A}} \end{align}$

[editar]Identidades triangulares

As identidades que se seguem referem-se a um triângulo com ângulos

A

B

C

e lados de comprimentos

a

b

c

, como na figura ao lado. Repare que o lado oposto ao ângulo

A

é o de comprimento

a

, o lado oposto ao ângulo

B

é o de comprimento

b

e o lado oposto ao ângulo

C

é o de comprimento

c

[editar]Lei dos senos

Ver artigo principal: Lei dos senos

A lei dos senos para um triângulo arbitrário diz:

$\frac{\operatorname{sen} A}{a} = \frac{\operatorname{sen} B}{b} = \frac{\operatorname{sen} C}{c},$

ou equivalentemente:

$\frac{a}{\operatorname{sen} A} = \frac{b}{\operatorname{sen} B} = \frac{c}{\operatorname{sen} C} = 2R$

[editar]Lei dos cossenos

Ver artigo principal: Lei dos cossenos

A lei dos cossenos (também conhecida como fórmula dos cossenos) é uma extensão do teorema de Pitágoras para triângulos arbitrários:

$c^2=a^2+b^2-2ab\cos C ,\,$

ou equivalentemente:

$\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\,$

o teorema de pitágoras é um caso particular da Lei dos Cossenos, quando o cosseno de 90°é 0.

[editar]Lei das tangentes

Ver artigo principal: Lei das tangentes

A lei das tangentes:

$\frac{a+b}{a-b}=\frac{\tan\left[\tfrac{1}{2}(A+B)\right]}{\tan\left[\tfrac{1}{2}(A-B)\right]}$

$\frac{b+c}{b-c}=\frac{\tan\left[\tfrac{1}{2}(B+C)\right]}{\tan\left[\tfrac{1}{2}(B-C)\right]}$

$\frac{a+c}{a-c}=\frac{\tan\left[\tfrac{1}{2}(A+C)\right]}{\tan\left[\tfrac{1}{2}(A-C)\right]}$

'Como saber o ângulo interno de um triângulo rectângulo?'

Sendo

$tan(A)=\frac{sen(A)}{cos(A)}$ , em que:

Sen(A) é comprimento do cateto oposto e Cos(A) A o comprimento do cateto adjacente.

A tangente inversa (

t a n - 1 (A)

ou $\textrm{arctan}\left(\frac{sen(A)}{\cos(A)}\right)$ )é o ângulo interno. sendo assim.

Triângulo retângulo, em geometria, é um triângulo que possui um ângulo reto e outros dois ângulos agudos, para tanto basta que tenha um ângulo reto (90°), pois a soma dos três ângulos internos é igual a um ângulo raso (180°). É uma figura geométrica muito usada na matemática, no cálculo de áreas, volumes e no cálculo algébrico. Em um triângulo retângulo, sabendo-se as medidas de dois lados ou a medida de um lado mais a medida de um ângulo agudo, é possível calcular a medida dos demais lados e ângulos. A área de um triângulo retângulo é dada pela metade do produto dos menores lados.

Se pode considerar um triângulo retângulo como a metade de um retângulo desde que partido pela sua diagonal.

A relação entre os lados e ângulos de um triângulo retângulo é a base da trigonometria.

Índice

[esconder]

[editar]Elementos do triângulo retângulo

Elementos de um triângulo retângulo. Os pontos A, B e C, os lados opostos a(hipotenusa), b e c (catetos) e as projeções de b e c, m e n.

Um triângulo retângulo é composto por quatro principais elementos:

Catetos
Hipotenusa
altura relativa à hipotenusa
projeções dos catetos.

[editar]Catetos

Os catetos são os menores lados do triângulo retângulo. Eles formam o ângulo de 90°.

[editar]Altura relativa à hipotenusa

[editar]Projeções dos catetos

A altura relativa à hipotenusa divide-a em duas partes, denominadas projeções dos catetos.

[editar]Relações métricas do triângulo retângulo

As relações métricas do triângulo retângulo são quatro. Os três triângulos formados são retângulos e semelhantes.

A hipotenusa é igual à soma das projeções.

$a=m+n \,\!$

Por semelhança de triângulos, temos que:

O quadrado da altura relativa à hipotenusa é igual ao produto das projeções dos catetos.

$\frac{h}{m}=\frac{n}{h} \Rightarrow h^2=mn \,\!$

O quadrado de um cateto é igual ao produto entre a sua projeção(que se encontra do seu lado) e a hipotenusa.

$\frac{b}{a}=\frac{m}{b} \Rightarrow b^2 = am \,\$

$\frac{c}{a}=\frac{n}{c} \Rightarrow c^2 = an \,\$

O produto entre a hipotenusa e a altura relativa a ela é igual ao produto dos catetos.

$\frac{a}{c}=\frac{b}{h} \Rightarrow ah=bc \,\$

[editar]Teorema de Pitágoras

O Teorema de Pitágoras diz que:

A soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa.

— Pitágoras

ou, em linguagem matemática:

hipotenusa (AB)² = cateto (BC)² + cateto (CA)²

[editar]Relações trigonométricas do triângulo retângulo

Outra maneira de calcular a medida dos lados de um triângulo retângulo é através da medida de um ângulo e um lado, usando aTrigonometria. As principais relações trigonométricas são: Seno, Cosseno e Tangente. Há outras três: Cotangente, Secante e Cossecante.

[editar]Seno de um ângulo

É dado pela razão entre os lados que formam o outro ângulo agudo, dado pela ordem :

$\mbox{sen } A = {\mbox{cateto oposto} \over \mbox{hipotenusa}}$

[editar]Cosseno de um ângulo

Cosseno: É a razão entre a medida do cateto adjacente e a medida da hipotenusa e é dado pela razão entre os lados que formam o próprio ângulo agudo, dado pela ordem::

$\cos A = {\mbox{cateto adjacente} \over \mbox{hipotenusa}}$

[editar]Tangente de um ângulo

É dado pela razão entre o Seno e o Cosseno de um ângulo, ou entre os catetos, dado pela seguinte ordem:

$\mbox{tg } A = {\mbox{sen } A \over \cos A} = {\mbox{cateto oposto} \over \mbox{cateto adjacente}}$

[editar]Cotangente de um ângulo

É dado pela razão entre o Cosseno e o Seno de um ângulo, ou entre os catetos, dado pela seguinte ordem:

$\mbox{cotg } A = {\cos A \over \mbox{sen } A} = {\mbox{cateto adjacente} \over \mbox{cateto oposto}}$

[editar]Secante de um ângulo

É dado pelo inverso do cosseno desse ângulo ou entre os lados que formam o próprio ângulo, dado na seguinte ordem:

$\sec A = {1 \over \cos A} = {\mbox{hipotenusa} \over \mbox{cateto adjacente}}$

[editar]Cossecante de um ângulo

É dado pelo inverso do seno desse ângulo ou entre os lados que formam o outro ângulo agudo, dado na seguinte ordem:

$\mbox{cossec } A = {1 \over \mbox{sen } A} = {\mbox{hipotenusa} \over \mbox{cateto oposto}}$

[editar]Ângulos notáveis

[editar]Triângulos retângulos exatos

São aqueles que todos os lados são diferentes dos que formam um terno pitagórico. hipotenusa, cateto, cateto.

[editar]Circunferência inscrita num triângulo retângulo

O diâmetro (d) de uma circunferência inscrita num triângulo rectângulo (a b c) é igual à soma dos catetos, menos a hipotenusa, representado pela seguinte fórmula:

a + b = c + d

$a =$ cateto
$b =$ cateto
$c =$ hipotenusa
$r =$ raio da circunferência inscrita
$d =$ diâmetro da circunferência inscrita

$\left\{ \begin{matrix} a=x+r \Rightarrow x=a-r \, \left ( I \right )\\ b=y+r \Rightarrow y=b-r \, \left (II \right )\\ c=x+y \, \left (III \right ) \end{matrix} \right.$

Substituindo I e II em III, teremos

$c=a-r+b-r \Rightarrow c=a+b-2r \Rightarrow c+2r=a+b$

Como:

$d=2r \Rightarrow c+d=a+b$ cqd

sexta-feira, 15 de abril de 2011

Trigonometria

Índice

[editar]Sobre a trigonometria

[editar]Círculo Trigonométrico

[editar]Seno

[editar]Cosseno

[editar]Tangente

[editar]Algumas relações

[editar]Teorema de Pitágoras

[editar]Aplicações da trigonometria

[editar]Fórmulas comuns

[editar]Identidades Trigonométricas

[editar]Fórmula fundamental da trigonometria e seus corolários

[editar]Identidades de soma e subtração

[editar]Fórmulas da duplicação do ângulo

[editar]Fórmulas da divisão do ângulo em dois

[editar]Identidades triangulares

[editar]Lei dos senos

[editar]Lei dos cossenos

[editar]Lei das tangentes

Índice

[editar]Elementos do triângulo retângulo

[editar]Catetos

[editar]Altura relativa à hipotenusa

[editar]Projeções dos catetos

[editar]Relações métricas do triângulo retângulo

[editar]Teorema de Pitágoras

[editar]Relações trigonométricas do triângulo retângulo

[editar]Seno de um ângulo

[editar]Cosseno de um ângulo

[editar]Tangente de um ângulo

[editar]Cotangente de um ângulo

[editar]Secante de um ângulo

[editar]Cossecante de um ângulo

[editar]Ângulos notáveis

[editar]Triângulos retângulos exatos

[editar]Circunferência inscrita num triângulo retângulo

[editar]

Nenhum comentário:

Postar um comentário